Cho \(x,y>0\) thỏa mãn \(\log \left( x+2y \righ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(\log \left( x+2y \right)=\log x+\log y=\log \left( xy \right)\Leftrightarrow x+2y=xy=t\,\,\left( t>0 \right)\), tìm điều kiện chính xác của biến t.

Biến đổi biểu thức P, đưa về dạng \(f\left( t \right)\) và tìm GTNN của biểu thức đó.

Giải chi tiết:

\(\log \left( x+2y \right)=\log x+\log y=\log \left( xy \right)\Leftrightarrow x+2y=xy=t\,\,\left( t>0 \right)\)

Mặt khác ta có: với \(x,y>0\Rightarrow x+2y\ge 2\sqrt{2xy}\Leftrightarrow {{\left( x+2y \right)}^{2}}\ge 8xy\Leftrightarrow {{t}^{2}}-8t\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & t\ge 8 \\  & t\le 0 \\ \end{align} \right.\), kết hợp điều kiện \(t>0\Rightarrow t\ge 8\)

Ta có:

\(\begin{align}  & P=\frac{{{x}^{2}}}{1+2y}+\frac{4{{y}^{2}}}{1+x}=\frac{{{x}^{2}}}{1+2y}+\frac{{{\left( 2y \right)}^{2}}}{1+x} \\  & P=\frac{{{x}^{2}}+{{x}^{3}}+{{\left( 2y \right)}^{2}}+{{\left( 2y \right)}^{3}}}{x+2y+2xy+1}=\frac{{{\left( x+2y \right)}^{2}}-4xy+{{\left( x+2y \right)}^{3}}-6xy\left( x+2y \right)}{x+2y+2xy+1} \\ \end{align}\)

Thay \(x+2y=xy=t\) ta có:

\(P=\frac{{{t}^{2}}-4t+{{t}^{3}}-6{{t}^{2}}}{t+2t+1}=\frac{{{t}^{3}}-5{{t}^{2}}-4t}{3t+1}=f\left( t \right)\,\,\left( t>0 \right)\)

Có: \(f'\left( t \right)=\frac{\left( 3{{t}^{2}}-10t-4 \right)\left( 3t+1 \right)-3\left( {{t}^{3}}-5{{t}^{2}}-4t \right)}{{{\left( 3t+1 \right)}^{2}}}=\frac{6{{t}^{3}}-12{{t}^{2}}-10t-4}{{{\left( 3t+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow t\approx 2,7\notin \left[ 8;+\infty  \right)\)

Ta có: \(f\left( 8 \right)=\frac{32}{5}\Rightarrow \underset{\left[ 8;+\infty  \right)}{\mathop{min}}\,f\left( t \right)=\frac{32}{5}\Rightarrow \min P=\frac{32}{5}\)

Chọn B.