Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.

- Hướng dẫn giải

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B lên B 'C và B 'A

Dễ thấy $AB\perp (BCC\text{'}B\text{'})$ nên $AB\perp BE$ 

Lại có $BE\perp B\text{'}C$ nên $d\left(AB,B\text{'}C\right)=BE=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$ 

Tương tự có $d\left(BC,AB\text{'}\right)=BF=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$ 

Xét các tam giác vuông BCB’ và BAB’ có: $\frac{1}{B{E}^2}=\frac{1}{B{F}^2}$ 

 $\iff BC=BA$ hay ABCD là hình vuông

Suy ra $BD\perp AC$. Lại có $AC\perp DD\text{'}$ nên $AC\perp (BDD\text{'})$ 

Gọi $M=AC\cap BD,O$ là tâm hình hộp và H  là hình chiếu của M  lên BD '

Khi đó $AC\perp MH$ và $MH\perp BD\text{'}$ nên $d\left(AC,BD\text{'}\right)=MH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ 

Đặt BA=BC=x, BB'=y ta có:

Tam giác BB 'C vuông nên

Tam giác BMO vuông nên

Mà $MB=\frac{1}{2}BD=\frac{x\sqrt{2}}{2},MO=\frac{1}{2}DD\text{'}=\frac{y}{2}$

nên  

Từ (1) và (2) ta có:

Vậy thể tích khối hộp

$V=BA.BC.BB\text{'}=a.a.2a=2a^3$

Chọn đáp án D.