Cho tứ diện ABCD có

A

- Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do tam giác AHB vuông tại  H nên I thuộc trục của tam giác AHB. Tương tự I cũng thuộc trục của tam giác AKC. Suy ra I cách đều A, B, H,K, C nên nó là tâm mặt  cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCKH. 

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCKH thì R cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có:

cot A + cot B + cot C  $=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}+\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}$$=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$

Nên $\frac{cot A+cot B+cot C}{2}$$=\frac{BC}{AB.AC}+\frac{CA}{BC.BA}+\frac{AB}{CA.CB}$

$\iff$$\frac{a^2+b^2+c^2}{8S}$$=\frac{a.\sin A}{bc. \sin A}+\frac{b.\sin B}{ca. \sin B}+\frac{c.\sin C}{ab. \sin C}$

$\iff$$\frac{a^2+b^2+c^2}{8S}$$=\frac{a^2}{4RS}+\frac{b^2}{4RS}+\frac{c^2}{4RS}$$\iff$$R=2\Rightarrow V=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi R}}^3=\frac{32\mathrm{\pi }}{3}$