Cho hàm số f(x) liên tục trên

Câu hỏi: Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ và $f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 3 x .$ Tính tích phân $I = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x)}{x} d x .$

A. $I = \frac{1}{2} .$

B. $I = \frac{5}{2} .$

C. $I = \frac{3}{2} .$

D. $I = \frac{7}{2} .$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án C

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 3 x \\ f (\frac{1}{x}) + 2 f (x) = \frac{3}{x} \end{cases} \Rightarrow f (x) = \frac{2 - x^{2}}{x} \\ \Rightarrow I = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{2 - x^{2}}{x^{2}} d x = \int_{\frac{1}{2}}^{2} (- 1 + \frac{2}{x^{2}}) d x = (- x - \frac{2}{x}) |\begin{array}{l} 2 \\ \frac{1}{2} \end{array} = \frac{3}{2} \end{array}$