Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt...

C

- Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Phương pháp: 

- Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right).$ 

- Tìm tọa độ giao điểm B, C của $\left(\alpha \right)$với trục Oy, Oz.

- Tính thể tích khối tứ diện vuông OABC: $V=\frac{1}{6}.OA.OB.OC.$ 

Cách giải:

Giả sử $\overrightarrow{n}\left(a;b;c\right),\left(a^2+b^2+c^2\ne 0\right)$ là một vecto pháp tuyến của (P).

Vì $\left(\alpha \right)$ đi qua $A\left(2;0;0\right)$ nên PTTQ của (P):

$a\left(x-2\right)+b\left(y-0\right)+c\left(z-0\right)=0$ 

$\iff ax+by+cz-2a=0.$ 

Vì $\left(\alpha \right)$ vuông góc với $\left(\alpha \right)$ nên $\overrightarrow{n}\left(a;b;c\right)$ vuông góc với $\overrightarrow{n_1}\left(0;2;-1\right).$ 

Khi đó,

$$\begin{gathered} 0.a+2.b+\left(-1\right).c=0 \\ \iff c=2b \end{gathered}$$ 

$\Rightarrow \left(\alpha \right):ax+by+2bz-2a=0$ 

$$\begin{gathered} d\left(O;\left(\alpha \right)\right)=\frac{4}{3} \\ \iff \frac{\left|-2a\right|}{\sqrt{a^2+b^2+4b^2}}=\frac{4}{3} \\ \iff {\left(6a\right)}^2=16\left(a^2+5b^2\right) \\ \iff a^2=4b^2\iff \left[\begin{array}{l}a=2b\\ a=-2b\end{array}\right. \end{gathered}$$ 

Cho

$$\begin{gathered} b=1 \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}a=2\\ a=-2\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}\overrightarrow{n}\left(2;1;2\right)\\ \overrightarrow{n}\left(-2;1;2\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}\left(\alpha \right):2x+y+2z-4=0\\ \left(\alpha \right):-2x+y+2z+4=0\end{array}\right. \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} +)\left(\alpha \right):2x+y+2z-4=0 \\ \Rightarrow B\left(0;4;0\right),C\left(0;0;2\right) \\ \Rightarrow V_{OABC}=\frac{1}{6}.\left|2\right|.\left|4\right|.\left|2\right|=\frac{8}{3} \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} +)\left(\alpha \right):-2x+y+2z+4=0 \\ \Rightarrow B\left(0;-4;0\right),C\left(0;0;-2\right) \\ \Rightarrow V_{OABC}=\frac{1}{6}.\left|2\right|.\left|-4\right|.\left|-2\right|=\frac{8}{3} \end{gathered}$$ 

Vậy thể tích khối tứ diện OABC là $\frac{8}{3}.$