Cho hai số thực dương thỏa mãn \(xy=1\). Tìm giá t...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Biến đổi biểu thức của M sau đó sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm GTNN của biểu thức.

+) Tìm giá trị của x và y để dấu “=” xảy ra và kết luận.

Giải chi tiết:

\(\begin{align}  & M={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{3}{x+y+1}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1+2xy+2x+2y-2(x+y+1)+\frac{3}{x+y+1} \\  & \,\,\,\,\,\,\,={{\left( x+y+1 \right)}^{2}}-2\left( x+y+1 \right)+\frac{3}{x+y+1} \\ \end{align}\)

Đặt \(t=x+y+1\ge 2\sqrt{xy}+1=3\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow M={{t}^{2}}-2t+\frac{3}{t} \\  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={{\left( t-3 \right)}^{2}}+4t+\frac{3}{t}-9 \\  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={{\left( t-3 \right)}^{2}}+\frac{t}{3}+\frac{3}{t}+\frac{11}{3}t-9 \\ \end{align}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có \(\frac{t}{3}+\frac{3}{t}\ge 2\sqrt{\frac{t}{3}.\frac{3}{t}}=2\) \(\Rightarrow M\ge 0+2+\frac{11}{3}.3-9=4\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{align}  & x=y \\  & t=3 \\  & \frac{t}{3}=\frac{3}{t} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy \({{M}_{\min }}=4\Leftrightarrow x=y=1\)

 Chọn A