Phương trình \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 1 - \frac...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\), khi đó \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

- Biến đổi: \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - \sin x.\cos x + {{\cos }^2}x} \right) = \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x.cosx} \right)\)

- Đưa phương trình về phương trình bậc 3 ẩn t

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\)   (Điều kiện: \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \)), khi đó \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

Phương trình: 

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - \sin x\cos x + {{\cos }^2}x} \right) = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right) = 1 - \sin x.\cos x\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \sin x.\cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \frac{{{t^2} - 1}}{2}} \right)\left( {t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {{t^2} - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow t = 1\,\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\left| t \right| \le \sqrt 2 } \right)\end{array}\)

Nghiệm: \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \pi  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Chọn B.