Cho hai số thực dương \(a,b\). Bất đẳng thức nào s...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét hiệu. Sử dụng phương pháp đưa về nhân tử và đánh giá.

Giải chi tiết:

\(*\,\,\dfrac{{{a^2}}}{{{a^4} + 1}} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2{a^2} - {a^4} - 1}}{{2\left( {{a^4} + 1} \right)}} = \dfrac{{ - {{\left( {{a^2} - 1} \right)}^2}}}{{2\left( {{a^4} + 1} \right)}} \le 0\,\,\forall a \in \mathbb{R} \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{{a^4} + 1}} \le \dfrac{1}{2} \Rightarrow \) Đáp án A sai.

\(*\,\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{ab + 1}} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2\sqrt {ab}  - ab - 1}}{{2\left( {\sqrt {ab}  + 1} \right)}} = \dfrac{{ - {{\left( {\sqrt {ab}  - 1} \right)}^2}}}{{2\left( {\sqrt {ab}  + 1} \right)}} \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {ab} }}{{ab + 1}} \le \dfrac{1}{2}\,\,\forall a,b > 0 \Rightarrow \) Đáp án B sai.

\(*\,\,\dfrac{{\sqrt {{a^2} + 1} }}{{{a^2} + 2}} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2\sqrt {{a^2} + 1}  - {a^2} - 2}}{{2\left( {{a^2} + 2} \right)}} = \dfrac{{ - \left( {{a^2} + 1 - 2\sqrt {{a^2} + 1}  + 1} \right)}}{{2\left( {{a^2} + 2} \right)}} = \dfrac{{ - {{\left( {\sqrt {{a^2} + 1}  - 1} \right)}^2}}}{{2\left( {{a^2} + 2} \right)}} \le 0\,\,\forall a \Rightarrow \)  Đáp án C đúng

Chọn C.