Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\le...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Cho \(\overrightarrow u  = (x;y)\) ;\(\overrightarrow {u'}  = (x';y')\)

Nếu \(xy \ne 0\) ta có \(\overrightarrow {u'} \) cùng phương \(\overrightarrow u  \Leftrightarrow \frac{{x'}}{x} = \frac{{y'}}{y}\)

Giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB} \left( { - 9;3} \right),\,\,\overrightarrow {AC} \left( { - 5; - 5} \right)\). Vì \(\frac{{ - 9}}{{ - 5}} \ne \frac{3}{{ - 5}}\)  suy ra \(\overrightarrow {AB} \)và \(\overrightarrow {AC} \) không cùng phương

Hay \(A,\,\,B,\,\,C\)  là ba đỉnh một tam giác.

Theo đề bài ta có: \(D \in Ox \Rightarrow D\left( {{x_D};0} \right).\) 

Ba điểm \(A,\,\,B,\,\,D \Rightarrow \overrightarrow {AB} \)  và \(\overrightarrow {AD} \) cùng phương

Mặt khác:  \(\overrightarrow {AD} \left( {{x_D} - 6; - 3} \right) \Rightarrow \frac{{x - 6}}{{ - 9}} = \frac{{ - 3}}{3} \Rightarrow x = 15\)

Vậy \(D\left( {15;0} \right).\)

Vì \(E \in BC\) và \(BE = 2EC \Rightarrow \overrightarrow {BE}  = 2\overrightarrow {EC} \)

Gọi \(E\left( {{x_E};{y_E}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {BE} \left( {{x_E} + 3;{y_E} - 6} \right),\,\,\overrightarrow {EC} \left( {1 - {x_E}; - 2 - {y_E}} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BE}  = 2\overrightarrow {EC}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_E} + 3 = 2\left( {1 - {x_E}} \right)}\\{{y_E} - 6 = 2\left( { - 2 - {y_E}} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_E} =  - \frac{1}{3}}\\{{y_E} = \frac{2}{3}}\end{array}} \right. \Rightarrow E\left( { - \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right).\)

Gọi \(I\left( {{x_I};{y_I}} \right)\) là giao điểm của \(DE\)  và \(AC.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {DI} \left( {{x_I} - 15;{y_I}} \right),\,\,\,\overrightarrow {DE} \left( { - \frac{{46}}{3};\frac{2}{3}} \right)\) cùng phương  \( \Rightarrow \frac{{3\left( {{x_I} - 15} \right)}}{{ - 46}} = \frac{{3{y_I}}}{2} \Rightarrow {x_I} + 23{y_I} - 15 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\overrightarrow {AI} \left( {{x_I} - 6;{y_I} - 3} \right),\,\,\overrightarrow {AC} \left( { - 5; - 5} \right)\) cùng phương \( \Rightarrow \frac{{{x_I} - 6}}{{ - 5}} = \frac{{{y_I} - 3}}{{ - 5}} \Rightarrow {x_I} - {y_I} - 3 = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{7}{2}\\{y_I} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{7}{2};\,\,\frac{1}{2}} \right).\)

Chọn D.