Tìm tất cả các số thực m để hệ phương trì...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Thế phương trình (2) vào phương trình (1), đưa phương trình (1) về dạng phương trình bậc hai một ẩn sau đó tìm điều kiện để phương trình có nghiệm duy nhất.

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,\,(a \ne 0)\) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \Delta  = 0\) 

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2{y^2} = 3\\x + y = m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m + 1 - y\\{\left( {m + 1 - y} \right)^2} + 2{y^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m + 1 - y\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 2\left( {m + 1} \right)y + {y^2} + 2{y^2} = 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m + 1 - y\\3{y^2} - 2\left( {m + 1} \right)y + {\left( {m + 1} \right)^2} - 3 = 0\,\,\,(*)\end{array} \right.\end{array}\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow (*)\) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \Delta ' = 0\) 

\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 3{\left( {m + 1} \right)^2} + 9 = 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\\m + 1 =  - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{3\sqrt 2  - 2}}{2}\\m = \frac{{ - 3\sqrt 2  - 2}}{2}\end{array} \right.\)

Chọn C.