Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vu...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi D là trung điểm BB’ ta có : \(d\left( {AM;B'C} \right) = d\left( {B'C;\left( {ADM} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {ADM} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {ADM} \right)} \right)\).

+) \(d\left( {AM;B'C} \right) = d\left( {B'\left( {ADM} \right)} \right) = \frac{{3{V_{D.ABM}}}}{{{S_{\Delta ADM}}}}\).

Giải chi tiết:

Theo giả thiết \(\Delta ABC\) vuông cân tại B \( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = a\sqrt 2 .\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{a^3}\).

Gọi D là trung điểm của BB’ ta có:

\(d\left( {AM;B'C} \right) = d\left( {B'C;\left( {ADM} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {ADM} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {ADM} \right)} \right)\).

Quan sát khối chóp D.ABM khối chóp này có thể tích là :

\({V_{D.ABM}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2}a.\frac{a}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\)

Ta có : \(AD = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {a^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{6};\,\,DM = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,\,AM = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Do đó \({S_{\Delta AMD}} = \sqrt {p\left( {p - AM} \right)\left( {p - MD} \right)\left( {p - AD} \right)} \,\,\left( {p = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2} + \frac{{a\sqrt 3 }}{2} + \frac{{a\sqrt 5 }}{2}}}{2}} \right) = \frac{{{a^2}\sqrt {14} }}{8}\)

Vậy \(d\left( {AM;B'C} \right) = d\left( {B'\left( {ADM} \right)} \right) = \frac{{3{V_{D.ABM}}}}{{{S_{\Delta ADM}}}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{7}\).

Chọn C.