Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi H  là hình chiếu của O trên đường thẳng \(\left( 1 \right).\) Khi đó áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài OH.

Giải chi tiết:

Điều kiện \(m \ne 0.\)

Gọi \(A,\;B\) lần lượt là các giao điểm của đường thẳng \(\left( 1 \right)\) với các trục \(Ox,\;Oy.\)

Khi đó ta có: \(A\left( {{x_1};\;0} \right),\;\;B\left( {0;\;{y_2}} \right).\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = m{x_1} + 1\\m.0 + 1 = {y_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} =  - \frac{1}{m}\\{y_2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( { - \frac{1}{m};\;0} \right)\\B\left( {0;\;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA = \left| { - \frac{1}{m}} \right| = \frac{1}{{\left| m \right|}}\\OB = \left| 1 \right| = 1\end{array} \right..\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên đường thẳng \(\left( 1 \right) \Rightarrow OH = \frac{2}{{\sqrt 5 }}.\)

Khi đó ta có \(\Delta AOB\) vuông tại \(O\) và có đường cao \(OH.\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta AOB\) vuông tại \(O\) và có đường cao \(OH\)  ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left| {{x_1}} \right|}^2}}} + \frac{1}{{{{\left| {{y_2}} \right|}^2}}}\\ \Leftrightarrow \frac{5}{4} = \frac{1}{{{{\left( { - \frac{1}{m}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{1^2}}} \Leftrightarrow \frac{5}{4} = {m^2} + 1\\ \Leftrightarrow 5 = 4{m^2} + 4 \Leftrightarrow 4{m^2} = 1 \Leftrightarrow {m^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m =  \pm \frac{1}{2}\;\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(m =  \pm \frac{1}{2}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn C.