Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(({u_n}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nếu \({u_n} > 0\,\,\forall n \in {N^*}\) thì lập tỉ số: \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

+) Nếu \(T > 1 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng

+) Nếu \(T < 1 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại 2 số \(M,\,m\) sao cho: \(m \le {u_n} \le M\,,\,\,\forall n \in {N^*}\)

Giải chi tiết:

Ta có: \({u_n} > 0{\rm{ }}\forall n \ge 1\)

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} = \frac{1}{{\sqrt {1 + \left( {n + 1} \right) + {{\left( {n + 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + 3n + 3} }}\\ \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\sqrt {{n^2} + n + 1} }}{{\sqrt {{n^2} + 3n + 3} }} = \sqrt {\frac{{{n^2} + n + 1}}{{{n^2} + 3n + 3}}}  < 1{\rm{ }}\forall n \in \mathbb{N}*\end{array}\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}{\rm{ }}\forall  \ge 1 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) là dãy số giảm.

Mặt khác: \(0 < {u_n} < 1 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) là dãy bị chặn.

Chọn C.