Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố \(a;\,\,b;\,\,c\...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lập luận và đánh giá theo điều kiện cho trước: \(abc < ab + bc + ac\).

Giải chi tiết:

Để không mất tính tổng quát giả sử: \(a \ge b \ge c \ge 2 \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \le \dfrac{3}{c}\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có: \(abc<ab+bc+ac\Leftrightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}>1\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(1<\dfrac{3}{c}\Leftrightarrow c<3\) \( \Rightarrow c = 2\).

Thay \(c = 2\) vào (2) ta được: \(\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \le \dfrac{2}{b} \Leftrightarrow b \le 4\)

Mà b là số nguyên tố nên \(\left[ \begin{array}{l}b = 2\\b = 3\end{array} \right.\)

+) Xét \(b=2\Rightarrow \dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{1}{a}>0\) đúng với mọi số nguyên tố.

+) Xét \(b=3\Rightarrow \dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{3}\Rightarrow \dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{6}\Rightarrow a<6\)

Mà  là số nguyên tố nên \(\left[ \matrix{  a = 3 \hfill \cr   a = 5 \hfill \cr}  \right.\).

Vậy bộ các số nguyên tố cần tìm là \(\left( {5;3;2} \right),\,\,\left( {3;3;2} \right),\,\,\left( {a;2;2} \right)\).