Cho cấp số cộng \(({u_n})\) có các số hạng đều dươ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tìm công sai \(d\) dựa vào công thức tổng \(S = \dfrac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\).

- Rút gọn tổng cần tính giá trị và tính toán.

Giải chi tiết:

Gọi d  là công sai của \(({u_n})\), theo giả thiết ta có: \({S_{100}} = \dfrac{1}{2}.100.\left( {2{u_1} + 99d} \right) = 14\,950 \Rightarrow d = 3.\)

Ta có: \(3 = d = {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = ... = {u_{k + 1}} - {u_k} = ... = {u_{2018}} - {u_{2017}}.\)

Từ đó suy ra với mọi số nguyên dương k:

 \(\dfrac{1}{{{u_{k + 1}}\sqrt {{u_k}}  + {u_k}\sqrt {{u_{k + 1}}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {{u_k}{u_{k + 1}}} \left( {\sqrt {{u_{k + 1}}}  + \sqrt {{u_k}} } \right)}} = \dfrac{{\sqrt {{u_{k + 1}}}  - \sqrt {{u_k}} }}{{\sqrt {{u_k}{u_{k + 1}}} \left( {{u_{k + 1}} - {u_k}} \right)}} = \dfrac{1}{3}.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_k}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_{k + 1}}} }}} \right).\)

Áp dụng hệ thức trên nhiều lần, ta được

\(S = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{u_1}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_2}} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{u_2}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_3}} }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {{u_{2017}}} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_{2018}}} }}} \right) = \dfrac{1}{3}\left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt {{u_{2018}}} }}} \right)\)\(\)

Với \({u_{2018}} = {u_1} + 2017d = 6052 \Rightarrow S = \dfrac{1}{3}\left( {1 - \dfrac{1}{{\sqrt {6052} }}} \right).\)

Chọn A.