Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa phương trình (1) về dạng phương trình tích, giải phương trình sau đó thế vào phương trình (2) để giải hệ phương trình.

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{6}{5}\\y \le \frac{{16}}{3}\end{array} \right..\)

Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 - xy + 3y = 0 \Leftrightarrow (x - 3)(x + 2 - y) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\;\;\;\left( {tm} \right)\\y = x + 2\end{array} \right.\)

+) Với \(x = 3\) ta có:

 \(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow \sqrt {5.3 - 6}  + \sqrt {16 - 3y}  = {2.3^2} - 2.3 + y - 4\\ \Leftrightarrow 3 + \sqrt {16 - 3y}  = 8 + y \Leftrightarrow \sqrt {16 - 3y}  = y + 5\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge  - 5\\16 - 3y = {y^2} + 10y + 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge  - 5\\{y^2} + 13y + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \ge  - 5\\\left[ \begin{array}{l}y = \frac{{ - 13 + \sqrt {133} }}{2}\\y = \frac{{ - 13 - \sqrt {133} }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow y = \frac{{ - 13 + \sqrt {133} }}{2}\;\;\left( {tm} \right)\end{array}\)

+) Với \(y = 2 + x\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt {5x - 6}  + \sqrt {16 - 3\left( {x + 2} \right)}  = 2{x^2} - 2x + x + 2 - 4\\ \Leftrightarrow \sqrt {5x - 6}  + \sqrt {10 - 3x}  = 2{x^2} - x - 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {5x - 6}  - 2 + \sqrt {10 - 3x}  - 2 = 2{x^2} - x - 6\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sqrt {5x - 6}  - 2} \right)\left( {\sqrt {5x - 6}  + 2} \right)}}{{\sqrt {5x - 6}  + 2}} + \frac{{\left( {\sqrt {10 - 3x}  - 2} \right)\left( {\sqrt {10 - 3x}  + 2} \right)}}{{\sqrt {10 - 3x}  + 2}} = \left( {2x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{5x - 10}}{{\sqrt {5x - 6}  + 2}} + \frac{{6 - 3x}}{{\sqrt {10 - 3x}  + 2}} - \left( {2x + 3} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {\frac{5}{{\sqrt {5x - 6}  + 2}} - \frac{2}{{\sqrt {10 - 3x}  + 2}} - 2x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\;\;\left( {tm} \right) \Rightarrow y = x + 2 = 4\;\;\left( {tm} \right).\\\frac{5}{{\sqrt {5x - 6}  + 2}} - \frac{2}{{\sqrt {10 - 3x}  + 2}} - 2x - 3 = 0\;\;\left( 3 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có: \(\frac{5}{{\sqrt {5x - 6}  + 2}} - \frac{2}{{\sqrt {10 - 3x}  + 2}} - 2x - 3 < 0\;\forall x \ge \frac{6}{5} \Rightarrow pt\;\left( 3 \right)\) vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm:  \(\left( {3;\frac{{ - 13 + \sqrt {133} }}{2}} \right);\;\;\left( {2;\;4} \right).\)

Chọn D.