Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường k...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

b) Chứng minh tam giác đồng dạng.

c)

Giải chi tiết:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC), gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC.

1) Chứng minh \(A{{C}^{2}}=CH.CB.\)

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường kính BC ta có:

\(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow \widehat{BAC}={{90}^{0}}\Rightarrow \) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A.\)

Xét tam giác \(ABC\) có đường cao ta có:

\(A{C^2} = CH.CB\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông). (đpcm)

2) Chứng minh tứ giác \(BCNM\) nội tiếp và \(AC.BM+AB.CN=AH.BC.\)

+) Ta có \(ANHM\) là hình chữ nhật do có 3 góc vuông.

\(\Rightarrow AN//MH,\ \ AM//HN.\)

\(\Rightarrow \widehat{MAH}=\widehat{AMN}\) (tính chất).

Lại có \(\left\{ \begin{align}  \widehat{ABH}={{90}^{0}}-\widehat{BAH} \\  \widehat{ANM}={{90}^{0}}-\widehat{AMN} \\ \end{align} \right. \Rightarrow \widehat{ABH}=\widehat{ANM}\ \ hay\ \ \widehat{MBC}=\widehat{ANM}.\) 

Xét tứ giác \(BCNM\) ta có: \(\widehat{MBC}=\widehat{ANM}\ \ \left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow BMNC\) là tứ giác nội tiếp (góc trong tại một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện).

+) Xét \(\Delta BMH\) và \(\Delta AHC\) ta có:

\(\widehat{MBH}=\widehat{HAC}\ \ \)(cùng phụ với \(\widehat{ACH}\))

\(\begin{align}  \widehat{BMH}=\widehat{AHC}={{90}^{0}} \\  \Rightarrow \Delta BMH\sim \Delta AHC\ \ \left( g-g \right) \\  \Rightarrow \frac{BM}{AH}=\frac{BH}{AC}\Leftrightarrow AC.BM=AH.BH. \\ \end{align}\)

Xét \(\Delta CNH\) và \(\Delta BAH\) ta có:

\(\widehat{NCH}=\widehat{BAH}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABH}\))

\(\begin{align}  \widehat{CNH}=\widehat{AHB}={{90}^{0}} \\  \Rightarrow \Delta CNH\sim \Delta AHB\left( g-g \right) \\  \Rightarrow \frac{CN}{AH}=\frac{CH}{AB}\Rightarrow AB.CN=AH.CH. \\  \Rightarrow AC.BM+AB.CN=AH.BH+AH.CH=AH\left( BH.CH \right)=AH.BC\ \ \left( dpcm \right) \\ \end{align}\)

3) Đường thẳng đi qua A cắt tia HM tại E và cắt tia đối của tia NH tại F. Chứng minh BE // CF.