1) Tìm cặp số nguyên tố \(x,y\) thỏa mãn: \({x^2}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Xét số dư của 1 số chính phương cho 3 để chứng minh 1 trong 2 số phải bằng 3.

b) Sử dụng biến đổi thông qua hằng đẳng thức.

Giải chi tiết:

a) Tìm cặp số nguyên tố x, y thỏa mãn: \({x^2} - 2{y^2} = 1.\)

Ta có 1 số chính phương khi chia cho 3 sẽ nhận được các số dư là 0 hoặc 1 nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{(3k)^2} = 9{k^2}\\{(3k + 1)^2} = 9{k^2} + 6k + 1 \equiv 1\;\;\left( {\bmod 3} \right)\\{(3k + 2)^2} = 9{k^2} + 12k + 4 \equiv 1\;\;\left( {\bmod 3} \right)\end{array} \right.\)

Nếu \(x,\;y > 3\)  thì  \(x,\;y\)  không chia hết cho 3 do đó số dư của VT cho 3 là \(1 - 2.1 =  - 1\)  chia 3 dư 2 vô lý do \({x^2} - 2{y^2} = 1.\)

\( \Rightarrow \) trong hai số \(x,\;y\) phải có một số bằng \(3.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 \Rightarrow 9 - 2{y^2} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = 4 \Leftrightarrow y = 2\;\;\left( {y > 0} \right)\\y = 3 \Rightarrow {x^2} - 2.9 = 1 \Leftrightarrow {x^2} = 19 \Rightarrow x \in \emptyset \end{array} \right..\)

Vậy cặp số nguyên tố thỏa mãn bài toán là: \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {3;\;2} \right).\)

b) Chứng minh rằng nếu hiệu các lập phương của 2 số nguyên liên tiếp là bình phương của một số tự nhiên n thì n là tổng 2 số chính phương liên tiếp.

Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp đó là \(a,\;\;a + 1\;\;\left( {a \in Z} \right),\)  theo đề bài ta có :

\(\begin{array}{l}{\left( {a + 1} \right)^3} - {a^3} = {n^2} \Leftrightarrow {a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 - {a^3} = {n^2}\\ \Leftrightarrow 3{a^2} + 3a + 1 = {n^2}\;\;\left( * \right)\end{array}\)

+) Xét TH : \( - 1 \le a \le 0\) ta có : \(\left[ \begin{array}{l}a = 0 \Rightarrow n = 1 = {0^2} + {1^2} \Rightarrow a = 0\;\;\left( {tm} \right)\\a =  - 1 \Rightarrow n = 1 = {0^2} + {1^2} \Rightarrow a =  - 1\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

+) Xét TH : \(\left[ \begin{array}{l}a > 0\\a <  - 1\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {2a} \right)^2} < 3{a^2} + 3a + 1 < {\left( {2a + 1} \right)^2}\)  

Vậy ta có \(n\) là tổng của hai số chính phương liên tiếp.

Chọn A.