a)      Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\left( P...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)      Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,2mx - m + 1\). Tìm tất cả các giá trị của m để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn: \(2{x_1} + 2{x_2} + {y_1}{y_2} = 0\)

Ta có:

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}{x^2} = 2mx - m + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + m - 1 = 0\\\Delta  = 4{m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {\left( {2m - 1} \right)^2} + 3 > 0\,\,\forall m.\end{array}\)

Theo định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{x_1} + 2{x_2} + {y_1}{y_2} = 0\\ \Leftrightarrow 4m + {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 4m + {m^2} - 2m + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow m =  - 1.\end{array}\)

Vậy giá trị cần tìm là \(m =  - 1\).

b)     Giải phương trình: \(\sqrt x  + \sqrt {x - 4}  = \sqrt { - {x^2} + 6x - 1} \)

Ta có điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - 4 \ge 0\\ - {x^2} + 6x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ge 4\\3 - 2\sqrt 2  \le x \le 3 + 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow 4 \le x \le 3 + 2\sqrt 2 \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt x  + \sqrt {x - 4}  = \sqrt { - {x^2} + 6x - 1} \\ \Leftrightarrow x + x - 4 + 2\sqrt {x\left( {x - 4} \right)}  =  - {x^2} + 6x - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 3 - 2\sqrt {x\left( {x - 4} \right)}  = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4x} \right) - 2\sqrt {{x^2} - 4x}  - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {{x^2} - 4x}  - 3} \right)\left( {\sqrt {{x^2} - 4x}  + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4x}  - 3 = 0\,\,\left( {Do\,\,\sqrt {{x^2} - 4x}  + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 + \sqrt {13} \,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 2 - \sqrt {13} \,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: \(x = 2 + \sqrt {13} \)

c)      Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 5\\x + y + xy = 5\end{array} \right.\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + y\\v = xy\end{array} \right.\,\,\left( {DK:\,\,{u^2} \ge 4v} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u^2} - 2v = 5\\u + v = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25 - 10v + {v^2} - 2v = 5\\u = 5 - v\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{v^2} - 12v + 20 = 0\\u = 5 - v\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}v = 10\\v = 2\end{array} \right.\\u = 5 - v\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = 3\\v = 2\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}u =  - 5\\v = 10\end{array} \right.\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y = 2\\x = 2;y = 1\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của hệ đã cho là \(\left( {1;2} \right);\,\,\left( {2;1} \right)\).