a)      Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{ali...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)      Tiến hành đặt \(a=x+y,\ \ b=xy\)  thế vào hệ và giải.

b)      Đặt ẩn phụ với: \(a=\sqrt{x};\ \ b=\sqrt{3-2x}.\)

Giải chi tiết:

a)      Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align} & xy(x+y)=2 \\  & {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{x}^{3}}{{y}^{3}}+7(x+1)(y+1)=31 \\\end{align} \right..\)

Ta có hệ phương trình :

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xy\left( {x + y} \right) = 2\\
\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) + {\left( {xy} \right)^3} + 7\left( {x + y + xy + 1} \right) = 31
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xy\left( {x + y} \right) = 2\\
\left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy} \right] + {\left( {xy} \right)^3} + 7\left[ {\left( {x + y} \right) + xy + 1} \right] = 31
\end{array} \right..\)

Đặt \(a=x+y,\ \ b=xy\) thì hệ trên trở thành: \(\left\{ \begin{align}  & ab=2 \\  & a\left( {{a}^{2}}-3b \right)+{{b}^{3}}+7\left( a+b+1 \right)=31 \\ \end{align} \right.\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
ab = 2\\
{a^3} - 3ab + {b^3} + 7\left( {a + b + 1} \right) = 31
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {{{(a + b)}^2} - 3ab} \right) - 3ab + 7\left( {a + b + 1} \right) = 31\\
\Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) - 3ab + 7\left( {a + b} \right) - 24 = 0\\
\Rightarrow {\left( {a + b} \right)^3} - 6\left( {a + b} \right) - 3.2 + 7\left( {a + b} \right) - 24 = 0\\
\Leftrightarrow {(a + b)^3} + (a + b) - 30 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} - 27 + \left( {a + b} \right) - 3\\
\Leftrightarrow (a + b - 3)\left[ {{{(a + b)}^2} + 3(a + b) + 10} \right] = 0\\
\Rightarrow a + b = 3\;\;\;\left( {do\;\;{{(a + b)}^2} + 3(a + b) + 10 > 0} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + b = 3\\
ab = 2
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 2\\
b = 1
\end{array} \right.\;\;\;\left( {do\;\;{a^2} = {{(x + y)}^2} \ge 4xy = 4b} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 2\\
xy = 1
\end{array} \right. \Rightarrow x = y = 1.
\end{array}\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(\left( x;\ y \right)=\left( 1;\ 1 \right).\)

b)      Giải phương trình: \(9+3\sqrt{x\left( 3-2x \right)}=7\sqrt{x}+5\sqrt{3-2x}.\)

Điều kiện xác định: \(0\le x\le \frac{3}{2}.\)

Đặt: \(a=\sqrt{x}\ ;\ \ b=\sqrt{3-2x}\ \ \left( a,\ b\ge 0 \right).\) Khi đó phương trình tương đương với:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
9 + 3ab = 7a + 5b\\
2{a^2} + {b^2} = 3
\end{array} \right. \Rightarrow 2{a^2} + {b^2} + 6 + 3ab = 7a + 5b\\
\Leftrightarrow 2{a^2} + 2ab - 4a + ab + {b^2} - 2b - 3a - 3b + 6 = 0\\
\Leftrightarrow 2a\left( {a + b - 2} \right) + b\left( {a + b - 2} \right) - 3\left( {a + b - 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {a + b - 2} \right)\left( {2a + b - 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a + b = 2 \Rightarrow b = 2 - a \Rightarrow 9 + 3a(2 - a) = 2a + 10 \Leftrightarrow \left( {3a - 1} \right)\left( {a - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{9}\;\;\left( {tm} \right)\\
a = 1 \Rightarrow x = 1\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\\
2a + b = 3 \Rightarrow b = 3 - 2a \Rightarrow 9 + 3a(3 - 2a) = 7a + 5(3 - 2a) \Leftrightarrow {(a - 1)^2} = 0 \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow x = 1\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Vậy phương trình trên có tập nghiệm là: \(S=\left\{ \frac{1}{9};\ \ 1 \right\}.\)

Chọn C