1) Giải phương trình: \({x^2} + 2 = 2\sqrt {{x^3}...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt điều kiện sau đó giải phương trình bằng phương pháp bình phương hai vế.

+) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si.

Giải chi tiết:

1) Giải phương trình: \({x^2} + 2 = 2\sqrt {{x^3} + 1} .\)

Điều kiện: \({x^3} + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 1.\)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{x^2} + 2 = 2\sqrt {{x^3} + 1} \\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2} \right)^2} = 4\left( {{x^3} + 1} \right)\;\;\;\forall x \ge  - 1\\ \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^2} + 4 = 4{x^3} + 4\\ \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}{\left( {x - 2} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;\;\;\left( {tm} \right)\\x = 2\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {0;\;2} \right\}.\)

2) Cho x, y là các số không âm thỏa mãn \(x + y = 4\). Chứng minh \({x^2}{y^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 128\)

Theo bài ra ta có :

\({\left( {x + y} \right)^2} = {4^2} = 16 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2xy = 16 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 16 - 2xy\)

Từ đó suy ra

\({x^2}{y^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 128 \Leftrightarrow {x^2}{y^2}\left( {16 - 2xy} \right) \le 128\)

Đặt \(t = xy\) ta có \(0 \le xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} = \frac{{16}}{4} = 4 \Rightarrow 0 \le t \le 4\).

\( \Rightarrow {t^2}\left( {16 - 2t} \right) \le 128\) với \(t \le 4\)\( \Leftrightarrow 8{t^2} - {t^3} - 64 \le 0\) với \(0 \le t \le 4\)

Ta cần chứng minh \(8{t^2} - {t^3} - 64 \le 0\) với \(0 \le t \le 4\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,8{t^2} - {t^3} - 64\\ = \left( {t - 4} \right)\left( { - {t^2} + 4t + 16} \right)\\ = \left( {t - 4} \right)\left[ { - t\left( {t - 4} \right) + 16} \right]\end{array}\)

Với \(0 \le t \le 4 \Rightarrow t - 4 \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow t\left( {t - 4} \right) \le 0 \Leftrightarrow  - t\left( {t - 4} \right) \ge 0 \Leftrightarrow  - t\left( {t - 4} \right) + 16 \ge 16 > 0\\ \Rightarrow \left( {t - 4} \right)\left[ { - t\left( {t - 4} \right) + 16} \right] \le 0\end{array}\) 

Do đó bất đẳng thức được chứng minh.

Dấu bằng xảy ra .\( \Leftrightarrow t = 4 \Leftrightarrow x = y = 2\)..