Cho \(a;b;c < 3\) dương thỏa mãn \(abc\left( {a...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Áp dụng BĐT Cô si ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {ab + ac + bc} \right)^2} \ge 3\left( {ab.ac + bc.ac + ab.bc} \right) = 3abc\left( {a + b + c} \right) = 9\\ \Leftrightarrow ab + bc + ca \ge 3.\end{array}\)

Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-Si ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{{\sqrt {9 - {b^2}} }} = \dfrac{a}{{\sqrt {\left( {3 - b} \right)\left( {3 + b} \right)} }} = \dfrac{{2\sqrt 2 a}}{{2\sqrt {\left( {6 - 2b} \right)(3 + b)} }} \ge \dfrac{{2\sqrt 2 a}}{{6 - 2b + 3 + b}} = \dfrac{{2\sqrt 2 a}}{{9 - b}}\\ \Rightarrow P \ge \dfrac{{2\sqrt 2 a}}{{9 - b}} + \dfrac{{2\sqrt 2 b}}{{9 - c}} + \dfrac{{2\sqrt 2 c}}{{9 - a}} = \dfrac{{2\sqrt 2 {a^2}}}{{9a - ab}} + \dfrac{{2\sqrt 2 {b^2}}}{{9b - bc}} + \dfrac{{2\sqrt 2 {c^2}}}{{9c - ca}} \ge \dfrac{{2\sqrt 2 {{(a + b + c)}^2}}}{{9\left( {a + b + c} \right) - ab - ac - bc}}\end{array}\)

Đặt \(t = a + b + c \ge \sqrt {3\left( {ab + ac + bc} \right)}  = 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {t - 3} \right)\left( {8t - 3} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 8{t^2} \ge 27t - 9\\ \Leftrightarrow 8{\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 27\left( {a + b + c} \right) - 3\left( {ab + ac + bc} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{8}{3}.\dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{9\left( {a + b + c} \right) - \left( {ab + ac + bc} \right)}} \ge 1\\ \Leftrightarrow P \ge \dfrac{{3\sqrt 2 }}{4}.\end{array}\)

Vậy GTNN của P là \(\dfrac{{3\sqrt 2 }}{4}.\) Đạt tại \(a = b = c = 1\).