Cho a, b, c thực dương thỏa mãn \(abc = 1\). Chứng...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2}\left( {{a^2} + a + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2a + 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^4} - {a^3} - a + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {a^4} - {a^3} + 1 \ge a\\ \Leftrightarrow {a^4} - {a^3} + ab + 2 \ge ab + a + 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {{a^4} - {a^3} + ab + 2} }} \le \dfrac{1}{{\sqrt {ab + a + 1} }}\end{array}\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \(\dfrac{1}{{\sqrt {{b^4} - {b^3} + bc + 2} }} \le \dfrac{1}{{\sqrt {bc + b + 1} }}\);\(\dfrac{1}{{\sqrt {{c^4} - {c^3} + ac + 2} }} \le \dfrac{1}{{\sqrt {ac + c + 1} }}\)

Như vậy:

\(VT \le \dfrac{1}{{\sqrt {ab + a + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {bc + b + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {ac + c + 1} }} \le \sqrt {3\left( {\dfrac{1}{{ab + a + 1}} + \dfrac{1}{{bc + b + 1}} + \dfrac{1}{{ac + c + 1}}} \right)} \)

(Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 3 số).

Lại có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {3\left( {\dfrac{1}{{ab + a + 1}} + \dfrac{1}{{bc + b + 1}} + \dfrac{1}{{ac + c + 1}}} \right)}  = \sqrt {3\left( {\dfrac{1}{{ab + a + 1}} + \dfrac{a}{{abc + ab + a}} + \dfrac{{ab}}{{{a^2}bc + abc + ab}}} \right)} \\ = \sqrt {3\left( {\dfrac{1}{{ab + a + 1}} + \dfrac{a}{{1 + ab + a}} + \dfrac{{ab}}{{a + ab + 1}}} \right)}  = \sqrt 3 .\end{array}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1\).