Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm \(A\left( { - 1;2...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm điểm I thỏa mãn $2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0$ từ đó suy ra $2A{M^2} + M{B^2}$ nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất$\Leftrightarrow$ M là hình chiếu vuông góc của I lên $\Delta$ từ đó tìm M

Giải chi tiết:

Gọi điểm $I\left( {a;b} \right)$ thỏa mãn $2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 2\left( { - 1 - a;\;2 - b} \right) + \left( {3 - a;\;4 - b} \right) = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( { - 1 - a} \right) + 3 - a = 0\\2\left( {2 - b} \right) + 4 - b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a + 1 = 0\\ - 3b + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = \frac{8}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{1}{3};\frac{8}{3}} \right).$

Ta có: $2A{M^2} + M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {IM}  - \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IM} } \right)^2}$

      $\begin{array}{l} = 2\left( {I{M^2} - 2\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IA}  + I{A^2}} \right) + I{B^2} - 2\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IM}  + I{M^2}\\ = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2} - 2\overrightarrow {IM} \left( {2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2}\end{array}$

$2I{A^2} + I{B^2}$ không thay đổi nên $2A{M^2} + M{B^2}$ nhỏ nhất khi IM  nhỏ nhất

$\Leftrightarrow$ M là hình chiếu vuông góc của I  lên $\Delta$

 $\Delta$ có VTPT là $\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)$

Gọi d  là đường thẳng đi qua I  vuông góc với $\Delta$

$\Rightarrow$ d  nhận $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\;1} \right)$ làm VTPT

$\Rightarrow$Phương trình tổng quát của d  là: $2\left( {x - \frac{1}{3}} \right) + \left( {y - \frac{8}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - \frac{{10}}{3} = 0$

M  là giao điểm của d và $\Delta$$\Rightarrow$ tọa độ điểm M  là nghiệm của hệ phương trình:

 $\left\{ \begin{array}{l}2x + y - \frac{{10}}{3} = 0\\x - 2y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{26}}{{15}}\\y =  - \frac{2}{{15}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{26}}{{15}}; - \frac{2}{{15}}} \right).$

Vậy $M\left( {\frac{{26}}{{15}}; - \frac{2}{{15}}} \right)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn A.