Số đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {0;3} \right)...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\,\,\left( d \right)\).

+) Thay điểm \(A\left( {0;3} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(d\). Giải phương trình tìm \({x_0}\). Có bao nhiêu nghiệm \({x_0}\) thì có bấy nhiêu tiếp tuyến thỏa mãn.

Giải chi tiết:

Ta có \(y' = 4{x^3} - 4x\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là:

\(y = \left( {4x_0^3 - 4{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^4 - 2x_0^2 + 3\,\,\left( d \right)\).

\(\begin{array}{l}A\left( {0;3} \right) \in \left( d \right) \Rightarrow 3 = \left( {4x_0^3 - 4{x_0}} \right)\left( { - {x_0}} \right) + x_0^4 - 2x_0^2 + 3\\ \Leftrightarrow  - 4x_0^4 + 4x_0^2 + x_0^4 - 2x_0^2 + 3 - 3 = 0\\ \Leftrightarrow  - 3x_0^4 + 2x_0^2 = 0 \Leftrightarrow x_0^2\left( { - 3x_0^2 + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} =  \pm \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có 3 đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {0;3} \right)\) và tiếp xúc với đồ thi hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 3\).

Chọn D