Cho hai số thực \(x,{\rm{ }}y\) thỏa mãn:\(x - 3\s...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh bất đẳng thức \(2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2}\) từ đó áp dụng tìm giá trị lớn nhất của \(\sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 2} \) suy ra giá trị lớn nhất của \(P\)

Giải chi tiết:

Cho hai số thực \(x,{\rm{ }}y\) thỏa mãn:\(x - 3\sqrt {x + 1}  = 3\sqrt {y + 2}  - y\) .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P{\rm{ }} = {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y.\) 

Điều kiện: \(x \ge  - 1;\,\,y \ge  - 2.\)

Với \(\forall a,b\) ta có: \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\) \( \Rightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2}\)    (1)

Dấu “=” của (1) xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\)

Ta có:

\(x - 3\sqrt {x + 1}  = 3\sqrt {y + 2}  - y \Leftrightarrow x + y = 3\left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 2} } \right)\)

Áp dụng (1) ta được: \({\left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 2} } \right)^2} \le 2\left( {x + y + 3} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 9{\left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 2} } \right)^2} \le 18\left( {x + y + 3} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 18\left( {x + y} \right) - 54 \le 0 \Rightarrow x + y \le 9 + 3\sqrt {15} \end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 9 + 3\sqrt {15} \\\sqrt {x + 1}  = \sqrt {y + 2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5 + \frac{3}{2}\sqrt {15} \\y = 4 + \frac{3}{2}\sqrt {15} \end{array} \right.\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng \(9 + 3\sqrt {15} \) đạt tại  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + \frac{3}{2}\sqrt {15} \\y = 4 + \frac{3}{2}\sqrt {15} \end{array} \right.\)

Chọn D.