Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 2}}\)

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Cho đường thẳng \(ax + by + c = 0\,\,\left( \Delta  \right)\). Đường thẳng song song với \(\left( \Delta  \right)\) có dạng \(ax + by + c' = 0\).

+) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\). Tìm \({x_0}\).

+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\). Ta có: \(y' = \dfrac{{2.2 - 1.1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

\( \Rightarrow \) Hệ số góc của tiếp tuyến \(\left( d \right)\) của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 2}}\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = \dfrac{3}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}\).

Vì \(\left( d \right)//\left( \Delta  \right):3x - y + 2 = 0 \Leftrightarrow y = 3x + 2 \Rightarrow k = 3\)

\( \Rightarrow \dfrac{3}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} = 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} + 2 = 1\\{x_0} + 2 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} =  - 1 \Rightarrow {y_0} =  - 1\\{x_0} =  - 3 \Rightarrow {y_0} = 5\end{array} \right.\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \({x_0} =  - 1\) là :

\(y = 3\left( {x + 1} \right) - 1 \Leftrightarrow y = 3x + 2 \equiv \left( \Delta  \right)\,\,\left( {ktm} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \({x_0} =  - 3\) là : \(y = 3\left( {x + 3} \right) + 5 \Leftrightarrow y = 3x + 14\,\,\left( {tm} \right)\).