Trên đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{x - 1}}\) có đ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi \(M\left( {{x_0};\dfrac{1}{{{x_0} - 1}}} \right)\,\,\left( {{x_0} \ne 1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{x - 1}}\).

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\,\,\left( d \right)\).

+) Tìm \(A = \left( d \right) \cap Oy,\,\,B = \left( d \right) \cap Ox\). Tính \({S_{\Delta OAB}}\).

Giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {{x_0};\dfrac{1}{{{x_0} - 1}}} \right)\,\,\left( {{x_0} \ne 1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{x - 1}}\).

Ta có \(y' =  - \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\) là:

\(y = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{1}{{{x_0} - 1}}\,\,\left( d \right)\).

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{{{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{x_0} - 1}} = \dfrac{{{x_0} + {x_0} - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{x_0} - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\).

\( \Rightarrow \left( d \right) \cap Oy = A\left( {0;\dfrac{{2{x_0} - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \right) \Rightarrow OA = \dfrac{{\left| {2{x_0} - 1} \right|}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\).

Cho \(y = 0 \Rightarrow 0 = \dfrac{{ - \left( {x - {x_0}} \right)}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{x_0} - 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{x - {x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x_0} - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow x = 2{x_0} - 1\).

\( \Rightarrow \left( d \right) \cap Ox = B\left( {2{x_0} - 1;0} \right) \Rightarrow OB = \left| {2{x_0} - 1} \right|\).

\(\Delta OAB\) vuông tại \(O \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{2}\dfrac{{{{\left( {2{x_0} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = 2\)

\( \Leftrightarrow 4x_0^2 - 4{x_0} + 1 = 4x_0^2 - 8{x_0} + 4 \Leftrightarrow 4{x_0} = 3 \Leftrightarrow {x_0} = \dfrac{3}{4}\).

Vậy  \(\left( {\dfrac{3}{4}; - 4} \right)\).

Chọn B.