Giải phương trình: \(\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}=2{{x}^...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình sau đó giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết:

Đk: \(x\ge \frac{2}{3}.\)

\(\begin{align}  & \ \ \ \ \sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}=2{{x}^{2}}-x-3 \\ & \Leftrightarrow \sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}=\left( x+1 \right)\left( 2x-3 \right) \\ & \Leftrightarrow \sqrt{3x-2}-\sqrt{x+1}=\left( x+1 \right)\left[ 3x-2-\left( x+1 \right) \right]\ \ \ \left( * \right) \\\end{align}\)

Đặt \(a=\sqrt{3x-2},\ \ b=\sqrt{x+1}\ \ \ \left( a,\ b\ge 0 \right).\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow a - b = {b^2}\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {a - b} \right) - {b^2}\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left[ {{b^2}\left( {a + b} \right) - 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a - b = 0\\
{b^3} + a{b^2} - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = b\\
{b^3} + a{b^2} - 1 = 0
\end{array} \right..
\end{array}\)

+) TH1: Với \(a=b\) ta có:

\(\sqrt{3x-2}=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow 3x-2=x+1\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\ \ \left( tm \right).\)

+) TH2: Với \({{b}^{3}}+a{{b}^{2}}-1=0\Leftrightarrow {{b}^{2}}\left( a+b \right)=1\ \ \ \left( 1 \right)\)  ta có:

Với  \(x\ge \frac{2}{3}\Rightarrow a\ge 0;\ \ b\ge \sqrt{\frac{2}{3}+1}=\sqrt{\frac{5}{3}}\Rightarrow a\ge 0,\ \ {{b}^{2}}\ge \frac{5}{3}.\)

\(\Rightarrow {{b}^{2}}\left( a+b \right)\ge \frac{5}{3}\left( 2+\sqrt{\frac{5}{3}} \right)>1.\)

\(\Rightarrow \left( 1 \right)\) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x=\frac{3}{2}.\)

Chọn B