Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + \frac...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Giải chi tiết:

\(P = x + \frac{9}{{x - 2}} + 2010 = x - 2 + \frac{9}{{x - 2}} + 2012\)

Với \(x > 2 \Leftrightarrow x - 2 > 0 \Rightarrow \frac{9}{{x - 2}} > 0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(x - 2\) và \(\frac{9}{{x - 2}}\)

\(\begin{array}{l}x - 2 + \frac{9}{{x - 2}} \ge 2.\sqrt {\left( {x - 2} \right).\frac{9}{{x - 2}}}  = 2\sqrt 9  = 6\\ \Rightarrow \,P = x - 2 + \frac{9}{{x - 2}} + 2012 \ge 6 + 2012 = 2018\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x - 2 = \frac{9}{{x - 2}} \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 3\\x - 2 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\) (do \(x > 2\))

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2018 tại \(x = 5\).

Chọn D.