Cho tam giác ABC có ba góc nhọn...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung của cùng 1 đường tròn thì bằng nhau.

Giải chi tiết:

Ta có: D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC  nên DE là đường trung bình của tam giác ABC \(\Rightarrow DE//BC\)

\(\Rightarrow \widehat{EDH}=\widehat{DHB}\) (so le trong).

Tam giác AHB vuông tại H, có HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB \(\Rightarrow HD=\frac{1}{2}AB=AD=DB\)

\(\Rightarrow \Delta DHB\) cân tại D \(\Rightarrow \widehat{DHB}=\widehat{DBH}\) (hai góc ở đáy của tam giác cân).

\(\Rightarrow \widehat{EDH}=\widehat{DBH}\)

Lại có góc DBH là góc nội tiếp chắn cung DH của đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH.

Góc EDH nằm tạo bởi dây cung DH và tia DE với D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH, nằm ở vị trí góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, chắn cung DH của đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH.

\(\Rightarrow DE\) là tiếp tuyến tại D của đường tròn ngoại tiếp tam giác DBH.

Chứng minh tương tự ta có : \(\widehat{DEH}=\widehat{EHC}=\widehat{ECH}\)

Lại có góc ECH là góc nội tiếp chắn cung EH của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECH.

Góc DEH nằm tạo bởi dây cung EH và tia ED, nằm ở vị trí góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, chắn cung EH của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECH.

\(\Rightarrow DE\) là tiếp tuyến tại E của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECH.

Vậy DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn lần lượt ngoại tiếp tam giác DBH và ECH.