Cho tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\left| {\dfra...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân. Hoặc trên miền xét ta sẽ đưa tích phân vào trong dấu trị tuyệt đối.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{{\ln }}{{{x^2}}} - \frac{{4.\ln x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\ln x\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}\ln x = 0\\{\left( {x + 2} \right)^2} - 4{x^2} = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\ - 3{x^2} + 4x + 4 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có \(I = \int\limits_1^2 {\left| {\dfrac{{\ln }}{{{x^2}}} - \dfrac{{4.\ln x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right|{\rm{d}}x}  = \left| {\int\limits_1^2 {\left[ {\dfrac{{\ln }}{{{x^2}}} - \dfrac{{4.\ln x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right]{\rm{d}}x} } \right| = \left| {\int\limits_1^2 {\dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x}  - \int\limits_1^2 {\dfrac{{4.\ln x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} } \right|.\)

\( \bullet \) Xét tích phân \({I_1} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} .\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \frac{1}{{{x^2}}}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = - \dfrac{1}{x}\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_1^2 {\dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx} = \left. { - \dfrac{1}{x}\ln x} \right|_1^2 + \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{{x^2}}}} = \left. {\left( { - \dfrac{1}{x}\ln x - \dfrac{1}{x}} \right)} \right|_1^2 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\ln 2\)

\( \bullet \) Xét tích phân \({I_2} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{4.\ln x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} .\)

Đặt 

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{x}\\v = - \dfrac{1}{{x + 2}}\end{array} \right.\\\Rightarrow \int\limits_1^2 {\dfrac{{4\ln x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}dx} = 4\left( {\left. { - \dfrac{1}{{x + 2}}\ln x} \right|_1^2 + \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{x\left( {x + 2} \right)}}} } \right) = 4\left. {\left( { - \frac{{\ln x}}{{x + 2}} + \dfrac{1}{2}\ln \left| {\dfrac{x}{{x + 2}}} \right|} \right)} \right|_1^2\\= 4\left( { - \dfrac{1}{4}\ln 2 + \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{3}} \right) = - \ln 2 - 2\ln 2 + 2\ln 3 = 2\ln 3 - 3\ln 2\end{array}\)

Vậy \(I = \left| {{I_1} - {I_2}} \right| =  - \,2.\ln 3 + \dfrac{5}{2}.\ln 2 + \dfrac{1}{2} \Rightarrow a =  - \,2;\,\,b = \dfrac{5}{2};\,\,c = \dfrac{1}{2} \Rightarrow P = 1.\)

Chọn C