Tính tích phân \(\int\limits_1^{\sqrt 6  + \sqrt 2...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp dùng tích phân phụ. Dạng toán này khá khó. Khi làm bài cần chú ý chọn tích phân phụ hợp lý để có thể tính được tích phân tính.

Sau đó áp dụng các phương pháp tính tích phân để tính.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{ - 4{x^4} + {x^2} - 3}}{{{x^4} + 1}}dx}  = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2}} {\left( { - 4 + \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}} \right)} dx =  - 4\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2}} {dx}  + \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}} dx = I + J\)

Tính\(I =  - 4\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2}} {dx}  = \left. { - 4x} \right|_1^{\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2}} =  - 2\sqrt 6  - 2\sqrt 2  + 4\).

Tính\(J = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}} dx = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}}}} dx = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2} + 2}}} dx\)

Đặt \(t = x - \frac{1}{x} \Rightarrow dt = \left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx\). Đổi cận:\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2} \Rightarrow t = \sqrt 2\end{array} \right.\)

Khi đó: \(J = \int\limits_0^{\sqrt 2 } {\frac{{dt}}{{{t^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}} \)

Đặt : \(t = \sqrt 2 \tan u \Rightarrow dt = \sqrt 2 \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du.\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow u = 0\\t = \sqrt 2  \Rightarrow u = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\)

Suy ra: \(J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sqrt 2 \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)}}{{2\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)}}} du = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {du}  = \left. {\frac{{\sqrt 2 }}{2}u} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\pi .\)

Vậy \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{ - 4{x^4} + {x^2} - 3}}{{{x^4} + 1}}dx}  = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\left( { - 16\sqrt 3  - 16 + \pi } \right) + 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b =  - 16\\c = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(a + {b^2} + {c^4} = 241\).

Chọn B.