Cho đường thẳng \(d:y=2(m-1)x-2m+5\)và parabol \(...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P). Vì phương trình có 2 nghiệm \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\) nên \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\)thỏa mãn phương trình hoành độ. Từ đó biến đổi về các biểu thức cần xét. Sử dụng định lý Vi-et  để biến đổi biểu thức biểu thức đã cho về biểu thức chứa \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}\,\,;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}\) rồi tìm giá trị của m.

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) : \({{x}^{2}}-2(m-1)x+2m-5=0(*)\)

\(\Delta ={{m}^{2}}4m+6={{\left( m2 \right)}^{2}}+2>0\forall m\)

Suy ra phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Hay (d) và (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

Phương trình (*) có hai nghiệm \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\) nên: \(\left\{ \begin{align}  & x_{1}^{2}-2(m-1){{x}_{1}}+2m-5=0 \\  & x_{2}^{2}-2(m-1){{x}_{2}}+2m-5=0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & x_{1}^{2}-2m{{x}_{1}}+2m-1=4-2{{x}_{1}} \\  & x_{2}^{2}-2m{{x}_{2}}+2m-1=4-2{{x}_{2}} \\ \end{align} \right.\)

Theo định lý Vi-et ta có : \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m-2 \\  & {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=2m-5 \\ \end{align} \right.\)

  Khi đó :

\(\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,\,\,(x_{1}^{2}-2m{{x}_{1}}+2m-1)(x_{2}^{2}-2m{{x}_{2}}+2m-1)<0 \\  & \Leftrightarrow (4-2{{x}_{1}})(4-2{{x}_{2}})<0 \\  & \Leftrightarrow 16-8({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+4{{x}_{1}}{{x}_{2}}<0 \\  & \Leftrightarrow 16-8(2m-2)+4(2m-5)<0 \\  & \Leftrightarrow -8m<-12 \\  & \Leftrightarrow m>\frac{3}{2} \\ \end{align}\)

Vậy \(m>\frac{3}{2}\) là giá trị cần tìm.

Chọn A.