Đường cong \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m - 1\) có ba đ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị.

+) Tìm các điểm cực trị A, B, C.

+) Tam giác ABC luôn là tam giác cân, giả sử cân tại A. Để \(\Delta ABC\) đều \( \Leftrightarrow AB = BC\).

Giải chi tiết:

TXĐ: D = R.

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr   {x^2} = m \hfill \cr}  \right.\)

Để hàm số có ba điểm cực trị \( \Leftrightarrow pt\,\,y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt \(m > 0.\)

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \Rightarrow y = m - 1 \Rightarrow A\left( {0;m - 1} \right) \hfill \cr   x = \sqrt m  \Rightarrow y =  - {m^2} + m - 1 \Rightarrow B\left( {\sqrt m ; - {m^2} + m - 1} \right) \hfill \cr   x =  - \sqrt m  \Rightarrow y =  - {m^2} + m - 1 \Rightarrow C\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + m - 1} \right) \hfill \cr}  \right.\)

Dễ thấy \(A \in Oy,\,\,B,C\) đối xứng qua Oy nên \(\Delta ABC\) cân tại A.

Để \(\Delta ABC\) là tam giác đều \( \Leftrightarrow AB = BC\)

Ta có : \(AB = \sqrt {m + {m^4}} ;\,\,BC = 2\sqrt m ,\,\,AB = BC \Leftrightarrow m + {m^4} = 4m \Leftrightarrow {m^4} = 3m \Leftrightarrow \left[ \matrix{  m = 0\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr   m = \root 3 \of 3 \,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr}  \right.\)

Chọn B.