Cho phương trình: \({{x}^{2}}-2mx+2m-1=0\)...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

- Trước tiên ta tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\,(\Delta '>0)\).

- Ta biến đổi biểu thức \(2({{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2})-5{{x}_{1}}{{x}_{2}}\) về biểu thức có chứa \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}\) và \({{x}_{1}}{{x}_{2}}\) rồi từ đó ta tìm được giá trị của \(m\).

- Đối chiếu với điều kiện xác định của \(m\) để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết:

Cách giải:

Xét phương trình: \({{x}^{2}}-2mx+2m-1=0\) ta có:

\(\Delta '={{m}^{2}}-1.\left( 2m-1 \right)={{m}^{2}}-2m+1={{(m-1)}^{2}}\)

Để phương trình có hai nhiệm phân biệt thì \(\Delta '>0\Leftrightarrow {{(m-1)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 1\) .

Ta có: 

\(\begin{array}{l}2({x_1}^2 + {x_2}^2) - 5{x_1}{x_2} = - 1\\ \Leftrightarrow 2{\rm{[}}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}{\rm{]}} - 5{x_1}{x_2} = - 1\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - 5{x_1}{x_2} = - 1\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 9{x_1}{x_2} = - 1\,\,\,(*)\end{array}\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\  & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=2m-1 \\ \end{align} \right.\) thay vào (*) ta được:

\(\begin{array}{l}2{(2m)^2} - 9\left( {2m - 1} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow 2.4{m^2} - 18m + 9 + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 8{m^2} - 18m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 9m + 5 = 0\\ \Leftrightarrow (m - 1)(4m - 5) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,(ktm)\\m = \frac{5}{4}\,(tm)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với \(m=\frac{5}{4}\) thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.

Chọn B.