Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} &...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp giải:Đặt 

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 4} = a\\\sqrt {y - 1} = b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {a^2} + 4\\y = {b^2} + 1\end{array} \right.\)

thay vào phương trình thứ 2, ta được hệ phương trình đối xứng loại 1

Phân tích hệ phương trình thứ 2 sau khi đặt thành \({{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab=3m-5\) sau đó rút \(ab\)

Khi đó ta được hệ phương trình với \(\left\{ \begin{align} & a+b=4 \\  & ab=\frac{21-3m}{2} \\ \end{align} \right.\)

Trở thành dạng hệ phương trình tổng tích, điều kiện để hệ có nghiệm là \({{S}^{2}}\ge 4P\)

Ta tìm được điều kiện của \(m\) để hệ phương trình có nghiệm, sau đó tìm được giá trị lớn nhất của \(m\) để hệ phương trình có nghiệm

Giải chi tiết:

Cách làm:

Điều kiện \(\left\{ \begin{align} & x\ge 4 \\  & y\ge 1 \\ \end{align} \right.\) 

Đặt 

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 4} = a\\\sqrt {y - 1} = b\end{array} \right.\left( {a,b \ge 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {a^2} + 4\\y = {b^2} + 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 4\\{a^2} + {b^2} + 5 = 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 4\\{\left( {a + b} \right)^2} - 2ab + 5 = 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 4\\ab = \frac{{21 - 3m}}{2}\end{array} \right.\)

Suy ra  \(a,b\) là nghiệm không âm của phương trình \({{T}^{2}}-4T+\frac{21-3m}{2}=0\) (*)

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm thì phương trình (*) phải có \(2\) nghiệm không âm

Phương trình (*) có \(2\) nghiệm không âm 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\S \ge 0\\P \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3m - 13}}{2} \ge 0\\\frac{{21 - 3m}}{2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{13}}{3} \le m \le 7\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(m\) để hệ phương trình trên có nghiệm là \(m=7\)

Chọn D