\(x = 7\) là nghiệm của phương trình nào?

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Ta áp dụng phương pháp biến đổi tương đương để giải các phương trình đó, chọn phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 7\).

Giải chi tiết:

Xét phương trình: \(\sqrt {3x + 1}  = x - 1\)

Đk: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1.\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt {3x + 1}  = x - 1\\\Leftrightarrow 3x + 1 = {\left( {x - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 3x + 1 = {x^2} - 2x + 1\\\Leftrightarrow {x^2} - 5x = 0\\\Leftrightarrow x\left( {x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 5\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất \(x = 5\). (loại đáp án A)

Xét phương trình: \(\sqrt {\left( {2x - 8} \right)\left( {4 + x} \right)}  + 2\sqrt {2x - 8}  = 0\)

Đk: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 8 \ge 0\\4 + x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ge 0\\x + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\x \ge  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 4\).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {\left( {2x - 8} \right)\left( {4 + x} \right)}  + 2\sqrt {2x - 8}  = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x - 8} \left( {\sqrt {4 + x}  + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {2x - 8}  = 0\\\sqrt {4 + x}  + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\\sqrt {4 + x}  =  - 2\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất \(x = 4\). (loại đáp án B)

Xét phương trình: \(\sqrt {3x + 4}  - \sqrt {x - 3}  = 3\)

Đk: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4 \ge 0\\x - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{{ - 4}}{3}\\x \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 3.\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {3x + 4}  - \sqrt {x - 3}  = 3\\ \Leftrightarrow \sqrt {3x + 4}  = 3 + \sqrt {x - 3} \\ \Leftrightarrow 3x + 4 = 9 + 6\sqrt {x - 3}  + x - 3\\ \Leftrightarrow 6\sqrt {x - 3}  = 2x - 2\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {x - 3}  = x - 1\\ \Leftrightarrow 9\left( {x - 3} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,x \ge 3} \right)\\ \Leftrightarrow 9x - 27 = {x^2} - 2x + 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 11x + 28 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x - 7} \right) = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\x - 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 7\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 7\). (chọn C)

Xét phương trình: \(\sqrt {3x + 7}  - \sqrt {4 - x}  = \sqrt {x + 6} \)

Đk: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 7 \ge 0\\4 - x \ge 0\\x + 6 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{{ - 7}}{3}\\x \le 4\\x \ge  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{3} \le x \le 4.\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {3x + 7}  = \sqrt {4 - x}  + \sqrt {x + 6} \\\Leftrightarrow 3x + 7 = 4 - x + 2\sqrt {\left( {4 - x} \right)\left( {x + 6} \right)}  + x + 6\\\Leftrightarrow 3x - 3 = 2\sqrt {\left( {4 - x} \right)\left( {x + 6} \right)} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 3 \ge 0\\{\left( {3x - 3} \right)^2} = 4\left( {4 - x} \right)\left( {x + 6} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\13{x^2} - 10x - 87 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = \frac{{ - 29}}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\end{array}\)

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm là \(x = 3\)(loại đáp án D).

Chọn C.