Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x+y+z+...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các tích \(x.1,y.1,z.1,xy,yz,zx\) để làm xuất hiện \({{x}^{2}},{{y}^{2}},{{z}^{2}}\).

Giải chi tiết:

Câu 12.

Lời giải chi tiết.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có  \(x=x.1\le \frac{{{x}^{2}}+1}{2}.\)

Tương tự ta có \(y\le \frac{{{y}^{2}}+1}{2},\,\,z\le \frac{{{z}^{2}}+1}{2}.\)

Ta cũng có \(xy\le \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}.\) Tương tự \(xz\le \frac{{{x}^{2}}+{{z}^{2}}}{2},\,yz\le \frac{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}{2}\,.\)

Cộng các vế bất đẳng thức trên lại ta có

\(x+y+z+xy+yz+zx\le \frac{{{x}^{2}}+{{1}^{2}}}{2}+\frac{{{y}^{2}}+1}{2}+\frac{{{z}^{2}}+1}{2}+\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}+\frac{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}{2}+\frac{{{z}^{2}}+{{x}^{2}}}{2}=\frac{3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}{2}+\frac{3}{2}.\)

Do đó \(6\le \frac{3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}{2}+\frac{3}{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge 3.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align}  & x=1,\,y=1,\,z=1 \\  & x=y,\,y=z,\,z=x \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=z=1.\)

Chọn đáp án D.