Cho \(P=\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-x+1}\) Khi đó...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Biến đổi biểu thức thành phương trình bậc hai ẩn \(x\) và tham số \(P\)

Tìm điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai rồi suy ra GTNN của \(P\)

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta có

\(P=\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-x+1}\Leftrightarrow P\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)={{x}^{2}}+1\Leftrightarrow \left( P-1 \right){{x}^{2}}-Px+\left( P-1 \right)=0\,\,\left( 1 \right).\)

\(P\) đạt GTNN thì phải tồn tại \(x\) hay \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.

Trường hợp 1. Với \(P=1\) thì \(\left( 1 \right)\) trở thành \(-x=0\Leftrightarrow x=0.\)

Trường hợp 2. Khi \(P\ne 1.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( P \right)^2} - 4{\left( {P - 1} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ {P - 2\left( {P - 1} \right)} \right]\left[ {P + 2\left( {P - 1} \right)} \right] \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {2 - P} \right)\left( {3P - 2} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \frac{2}{3} \le P \le 2\end{array}\)

Với \(P=\frac{2}{3}\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(-\frac{1}{3}{{x}^{2}}-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+1=0\Leftrightarrow x=-1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{2}{3}\) đạt được tại \(x=-1.\)

Chọn đáp án D.