Cho \(x,y\ge 0\) thỏa mãn \(x+y=4.\) Khi đó giá tr...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương.

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết. Ta viết lại \(S\) dưới dạng

\(\begin{array}{l}S = \left( {{x^3} - 1} \right)\left( {{y^3} - 1} \right) = {x^3}{y^3} - \left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 1\\\,\,\,\, = {\left( {xy} \right)^3} - \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) + 1\\\,\,\,\, = {\left( {xy} \right)^3} - 4\left( {{x^2} + 2xy + {y^2} - 3xy} \right) + 1\\\,\,\,\, = \,{\left( {xy} \right)^3} - 4{\left( {x + y} \right)^2} + 12xy + 1\\\,\,\,\, = {\left( {xy} \right)^3} - {4.4^2} + 12xy + 1 = {\left( {xy} \right)^3} + 12xy - 63.\end{array}\)

Đặt \(t=xy.\) Ta có \(S={{t}^{3}}+12t-63.\) 

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x;y\) ta có \(4=x+y\ge 2\sqrt{xy}.\)

Do đó \(0\le xy\le 4.\) Vì vậy \(0\le t\le 4.\)

Do \(t\ge 0\) nên \({{t}^{3}}\ge 0,12t\ge 0\) và do đó\(S={{t}^{3}}+12t-63\ge 0+0-63=-63.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(t=0\Leftrightarrow xy=0.\)

Khi đó ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}xy = 0\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Mặt khác ta có \(t\le 4\) nên \({{t}^{3}}\le {{4}^{3}}=64,\,\,12t\le 12.4=48.\) Từ đó \(S={{t}^{3}}+12t-63\le 64+48-63=49.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

\(\left\{ \begin{array}{l}t = 4\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 4\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S\) là \(-63\) đạt được tại \(\left( x;y \right)=\left( 0;4 \right)\) hoặc \(\left( x;y \right)=\left( 4;0 \right).\)

Giá trị lớn nhất của \(S\) là \(49\) đạt được tại \(\left( x;y \right)=\left( 2;2 \right).\)

Chọn đáp án A.