Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai đ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Vì điểm M thuộc d nên tham số hóa tọa độ điểm M, tính tổng \(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\) đưa về khảo sát hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất

Giải chi tiết:

Vì \(M\in \left( d \right)\Rightarrow \,\,M\left( t+1;2-2t;2t+3 \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{align}  \overrightarrow{AM}=\left( t-2;4-2t;2t \right) \\  \overrightarrow{BM}=\left( t;2-2t;2t-2 \right) \\ \end{align} \right..\)

Khi đó \(T=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}={{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( 4-2t \right)}^{2}}+4{{t}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( 2-2t \right)}^{2}}+{{\left( 2t-2 \right)}^{2}}=18{{t}^{2}}-36t+28.\)

Dễ thấy \(18{{t}^{2}}-36t+28=18\left( {{t}^{2}}-2t+1 \right)+10=18{{\left( t-1 \right)}^{2}}+10\ge 10\)\(\Rightarrow \,\,M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\ge 10.\)

Vậy \({{T}_{\min }}=10.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(t=1\Rightarrow M\left( 2;0;5 \right).\)

Chọn A