Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình v...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có: \(\Delta ADM = \Delta DCN\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {ADM} = \widehat {DCN}\)

Mà \(\widehat {DCN} + \widehat {DNC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {ADM} + \widehat {DNC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {DHN} = {90^0} \Rightarrow DM \bot CN\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}DM \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\DM \bot CN\end{array} \right\} \Rightarrow DM \bot \left( {SHC} \right)\).

Trong (SHC) kẻ \(HK \bot SC\) ta có: \(DM \bot (SHC) \supset HK \Rightarrow DM \bot HK\)

\( \Rightarrow \) HK là đường vuông góc chung của DM và SC\( \Rightarrow d\left( {DM;SC} \right) = HK\)

Xét tam giác vuông CDN có: \(CN = \sqrt {C{D^2} + D{N^2}}  = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\(C{D^2} = CH.CN \Rightarrow CH = \dfrac{{C{D^2}}}{{CN}} = \dfrac{{{a^2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\)

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HC \Rightarrow \Delta SHC\) vuông tại H

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{C^2}}} = \dfrac{1}{{4{a^2}}} + \dfrac{5}{{4{a^2}}} = \dfrac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow HK = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Chọn C.