Cho hình lăng trụ đều \(ABC. A'B'C'\) có cạnh đáy...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và B’C’.  

Vì tam giác ABC đều nên \(AM \bot BC\)

Ta có: \(\left.  \begin{array}{l}AM \bot BC\\AM \bot BB'\,\,\left( {BB' \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AM \bot \left( {BCC'B'} \right)\)

Gọi \(E = BC' \cap B'C\)

Trong (AMNA’) kẻ \(EF//AM\,\,\left( {F \in AA'} \right) \Rightarrow EF \bot \left( {BCC'B'} \right)\)

Gọi O và O’ lần lượt là tâm tam giác ABC và A’B’C’

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và A’B’ ta có:

\(\left.  \begin{array}{l}AB \bot CP\\AB \bot CC'\,\,\left( {CC' \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {CC'QP} \right)\) tại trung điểm của AB\( \Rightarrow \left( {CC'QP} \right)\) là mặt phẳng trung trực của AB.

Trong (AMNA’) có: \({\rm{EF}} \cap {\rm{OO' = I}}\)

\(\left.  \begin{array}{l}I \in EF \Rightarrow IB = IC = IC' = IB'\\I \in OO' \subset \left( {CC'QP} \right) \Rightarrow IA = IB\end{array} \right\} \Rightarrow IB = IC = IC' = IB' = IA\)

\( \Rightarrow I\) là tâm khối cầu ngoại tiếp chóp A. BCC’B’

Ta có: \(OO'/{\rm{AA}}' \Rightarrow OO' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OO' \bot OA \Rightarrow \Delta IOA\) vuông tại O.

Dễ thấy AOIF là hình chữ nhât\( \Rightarrow IO = AF = \dfrac{1}{2}AA' = \dfrac{a}{3}\)

Tam giác ABC đều cạnh a\( \Rightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét tam giác vuông IAO có: \(IA = \sqrt {I{O^2} + A{O^2}}  = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{9} + \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{2a}}{3} = R\)

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp A. BCC’B’ là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi . {\left( {\dfrac{{2a}}{3}} \right)^3} = \dfrac{{32\pi {a^3}}}{{81}}\)

Chọn A.