Cho hình lăng trụ tam giác đều \...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định thiết diện và áp dụng công thức tỉ số thể tích để tìm thế tích khối đa diện

Giải chi tiết:

Gọi \(S\) là giao điểm của \({A}'M\) và \(B{B}'\), khi đó \(P\) là giao điểm \(SN\) và \(BC\).

Dễ dàng chứng minh được

\(\Delta AMA'=\Delta BMS\left( g.c.g \right)\Rightarrow AA'=SB;\,\,A'M=SM\).

Dễ thấy MP // A’N \(\Rightarrow \frac{SP}{SN}=\frac{SM}{SA'}=\frac{1}{2}\)

Ta có \(\frac{{{V}_{SMBP}}}{{{V}_{S{A}'{B}'N}}}=\frac{SM}{S{A}'}.\frac{SB}{S{B}'}.\frac{SP}{SN}=\frac{1}{8}\)\(\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\frac{7}{8}{{V}_{S{A}'{B}'N}}=\frac{7}{8}\).

\({{V}_{S{A}'{B}'N}}=\frac{1}{3}S{B}'.{{S}_{\Delta {A}'{B}'N}}\)\(=\frac{1}{3}S{B}'.\frac{1}{2}{A}'{B}'.{B}'N\sin 60{}^\circ \)\(=\frac{1}{6}2a.a.\frac{a}{2}\sin 60{}^\circ \)\(=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\)

\(\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\frac{7}{8}{{V}_{S{A}'{B}'N}}=\frac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{96}\).

Chọn C