Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z-2i \right|=\...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hình học: Từ giả thiết, biểu diễn tập hợp điểm theo đường thẳng, đưa tổng độ dài về bài toán hình phẳng bằng cách biện luận vị trí điểm tìm giá trị nhỏ nhất

Giải chi tiết:

Đặt \(z=x+yi\,\,\,\left( x,\,\,y\in \mathbb{R} \right),\) khi đó \(\left| z-2i \right|=\left| z+2 \right|\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}\Leftrightarrow x+y=0.\)

Suy ra tập hợp điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) thuộc đường thẳng \(d:x+y=0.\)

Đặt \(A\left( 0;-\,2 \right),\,\,B\left( 5;-\,9 \right)\) \(\Rightarrow \) \(A,\,\,B\) cùng phía so với đường thẳng \(d\) (vì \(f\left( A \right).f\left( B \right)>0\)).

Gọi \(C\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d\) \(\Rightarrow \) Phương trình \(AC:\)\(x-y-2=0\)\(\Rightarrow \) \(C\left( 1;-\,1 \right).\)

Khi đó \(P=MA+MB=MB+MC\ge BC=\sqrt{{{\left( -\,4 \right)}^{2}}+{{8}^{2}}}=4\sqrt{5}.\) Vậy \({{P}_{\min }}=4\sqrt{5}.\)

Chọn B