Biết rằng GTLN của hàm số \(y = \frac{{{{\ln }^2}x...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp tìm GTNN, GTLN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\):

+) Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \) các nghiệm \({x_i} \in \left[ {a;b} \right]\).

+) Tính các giá trị \(f\left( {{x_i}} \right);\,\,\,f\left( a \right);\,\,f\left( b \right)\)

+) So sánh và kết luận.

Giải chi tiết:

\(y = \frac{{{{\ln }^2}x}}{x} \Rightarrow y' = \frac{{2\ln x.\frac{1}{x}.x - 1.{{\ln }^2}x}}{{{x^2}}} = \frac{{2\ln x - {{\ln }^2}x}}{{{x^2}}};\,\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln x = 0\\\ln x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = {e^2}\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

GTLN của hàm số trên \(\left[ {1;{e^3}} \right]\) là \(M = \frac{4}{{{e^2}}} = \frac{m}{{{e^n}}} \Rightarrow m = 4,\,\,n = 2\)

\( \Rightarrow S = {m^2} + 2{n^3} = {4^2} + {2.2^3} = 16 + 16 = 32\).

Chọn: C