Cho hình chóp \(S.ABC\) có đ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định góc giữa SB và mặt đáy. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi đường thẳng và hình chiếu của đường thẳng  trên mặt phẳng đó.

+) Dựng mặt phẳng (SBK) chứa SB và song song với AC, khi đó \(d\left[ {AC,SB} \right] = d\left[ {AC,\left( {SBK} \right)} \right] = \left[ {A;\left( {SBK} \right)} \right] = AH\)

+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính AH.

Giải chi tiết:

\(SA \bot \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow \)\(AB\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB,AB} \right)} = \widehat {SBA} = 60^\circ \)

\( \Rightarrow SA = AB.\tan 60^\circ  = a\sqrt 3 \)

Dựng \(d\)qua \(B\)và \(d{\rm{//}}AC\)

Dựng \(AK \bot d\)tại \(K\)

Dựng \(AH \bot SK\)tại \(H\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BK \bot AK\\BK \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BK \bot \left( {SAK} \right)\)\( \Rightarrow BK \bot AH\)

\(\left\{ \begin{array}{l}BK \bot AH\\SK \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBK} \right)\)\( \Rightarrow d\left[ {A,\left( {SBK} \right)} \right] = AH\)

\(\left\{ \begin{array}{l}BK{\rm{//}}AC\\BK \subset \left( {SBK} \right)\\AC \not\subset \left( {SBK} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AC{\rm{//}}\left( {SBK} \right)\)\( \Rightarrow d\left[ {AC,SB} \right] = d\left[ {A,\left( {SBK} \right)} \right] = AH\)

Gọi \(M\)là trung điểm \(AC\)\( \Rightarrow BM \bot AC\left( 1 \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}BK \bot AK\\BK{\rm{//}}AC\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot AC\left( 2 \right)\)

\(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow AK\;{\rm{//}}\;BM\)\( \Rightarrow AKBM\)là hình bình hành \( \Rightarrow AK = BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Xét tam giác \(SAK\) vuông tại \(A\) ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{5}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\)

Vậy \(d\left( {AC,SB} \right) = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

Chọn C.