Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung đ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có ngay : $\frac{NA}{NP}=\frac{{{S}_{MNA}}}{{{S}_{MNP}}}=\frac{{{S}_{BNA}}}{{{S}_{BNP}}}=\frac{{{S}_{ABNM}}}{{{S}_{BMN}}}.$

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có : $\frac{ND}{NQ}=\frac{{{S}_{CDMN}}}{{{S}_{CMN}}};\frac{MB}{MP}=\frac{{{S}_{ABNM}}}{{{S}_{AMN}}};\frac{MC}{MQ}=\frac{{{S}_{CDMN}}}{{{S}_{DMN}}}.$

Do M, N thứ tự là trung điểm của AD và BC nên: $\begin{align} & {{S}_{CMN}}={{S}_{BMN}};{{S}_{DMN}}={{S}_{AMN}} \\ & \Rightarrow S=\frac{NA}{NP}+\frac{ND}{NQ}+\frac{MB}{MP}+\frac{MC}{MQ}=\frac{{{S}_{ABNM}}}{{{S}_{CNM}}}+\frac{{{S}_{CDMN}}}{{{S}_{CMN}}}+\frac{{{S}_{ABNM}}}{{{S}_{AMN}}}+\frac{{{S}_{CDMN}}}{{{S}_{AMN}}} \\ & ={{S}_{ABCD}}(\frac{1}{{{S}_{AMN}}}+\frac{1}{{{S}_{CNM}}})\ge \frac{4{{S}_{ABCD}}}{{{S}_{AMN}}+{{S}_{CNM}}}=\frac{4{{S}_{ABCD}}}{{{S}_{ANC}}+{{S}_{AMC}}}=\frac{4{{S}_{ABCD}}}{\frac{1}{2}({{S}_{ABC}}+{{S}_{ACD}})} \\ & =\frac{4{{S}_{ABCD}}}{\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}}=8. \\ & \to S\ge 8. \\ \end{align}$

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: ${{S}_{AMN}}={{S}_{CMN}}\Leftrightarrow AB//MN//CD.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 8, đạt tại chẳng hạn tứ giác ABCD là hình thanh có AB // CD.

Chọn B