Cho các mệnh đề sau:I. \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi tương đương.

Giải chi tiết:

+) Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng

\(\eqalign{  & {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab  \cr   & {\left( {b - c} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {b^2} + {c^2} \ge 2bc  \cr   & {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {c^2} + {a^2} \ge 2ca \cr} \)

Cộng vế vế với các bất đẳng thức ta có

\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\). (*) Suy ra I đúng.

+) Biến đổi tương đương (*) ta có

\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2} \cr} \)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge {{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}} \over 3}\). Suy ra II đúng.

+) Biến đổi tương đương (*) theo cách khác ta có

\(\eqalign{  & {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca  \cr   &  \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow {(a + b + c)^2} \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right) \cr} \)

Suy ra III đúng.

Chọn A.